西南联大8年间掀三次从军潮：14%的学生投笔从戎

Джон Неш — математик, нобел?вський лауреат

百度 10911月中旬，我又一次来到纪念堂为奠基石涂红漆。

Тео?р?я ??гор — теор?я математичних моделей прийняття оптимальних р?шень в умовах конфл?кту. Оск?льки сторони, що беруть участь у б?льшост? конфл?кт?в, зац?кавлен? в тому, щоб приховати в?д супротивника власн? нам?ри, прийняття р?шень в умовах конфл?кту, зазвичай, в?дбува?ться в умовах невизначеност?. Навпаки, фактор невизначеност? можна ?нтерпретувати як противника суб'?кта, який прийма? р?шення (тим самим прийняття р?шень в умовах невизначеност? можна розум?ти як прийняття р?шень в умовах конфл?кту). Зокрема, багато тверджень математично? статистики природним чином формулюються як теоретико-?гров?.

Теор?я ?гор — розд?л прикладно? математики, точн?ше — досл?дження операц?й, який використову?ться в соц?альних науках (найб?льше в економ?ц?), б?олог??, пол?тичних науках, комп'ютерних науках (головним чином для штучного ?нтелекту) ? ф?лософ??. Теор?я ?гор намага?ться математично заф?ксувати повед?нку в стратег?чних ситуац?ях, в яких усп?х суб'?кта, що робить виб?р, залежить в?д вибору ?нших учасник?в. Якщо спочатку розвивався анал?з ?гор, в яких один ?з супротивник?в вигра? за рахунок ?нших (?гри з нульовою сумою), то згодом почали розглядати широкий клас вза?мод?й, як? були класиф?кован? за певними критер?ями. Сьогодн? ?теор?я ?гор щось на кшталт парасольки чи ун?версально? теор?? для рац?онально? сторони соц?альних наук, де соц?альн? можемо розум?ти широко, включаючи як людських, так нелюдських гравц?в (комп'ютери, тварини, рослини)? (Роберт Ауманн, 1987).

Ця галузь математики отримала певне в?дображення в масов?й культур?. 1998 року американська письменниця ? журнал?стка Сильв?я Назар опубл?кувала книгу про життя Джона Неша, нобел?вського лауреата з економ?ки за досягнення в теор?? ?гор, а в 2001 року за мотивами книжки зняли ф?льм ??гри розуму?. (Таким чином, теор?я ?гор — одна з небагатьох галузей математики, в як?й можна отримати Нобел?вську прем?ю). Деяк? американськ? телев?з?йн? шоу, наприклад, Friend or Foe?, Alias чи NUMBERS пер?одично використовують у сво?х випусках теор?ю ?гор.

Поняття теор?? ?гор

Лог?чною основою теор?? ?гор ? формал?зац?я трьох понять, як? входять в ?? визначення ? ? фундаментальними для вс??? теор??:

• Конфл?кт;
• Прийняття р?шення в конфл?кт?;
• Оптимальн?сть прийнятого р?шення.

Ц? поняття розглядаються в теор?? ?гор у найширшому сенс?. ?хн? формал?зац?? в?дпов?дають зм?стовним уявленням про в?дпов?дн? об'?кти.

Зм?стовно, конфл?ктом можна вважати будь-яке явище, в?дносно якого можна казати про його учасник?в, про ?хн? д??, про результати явищ, до яких призводять ц? д??, про сторони, як? так чи ?накше зац?кавлен? в таких насл?дках, ? про сутн?сть ц??? зац?кавленост?.

Якщо назвати учасник?в конфл?кту коал?ц?ями д?? (позначивши ?хню множину як ?_D, можлив? д?? кожно? ?з коал?ц?й д?? — ?? стратег?ями (множина вс?х стратег?й коал?ц?? д?? K познача?ться як S), результати конфл?кту — ситуац?ями (множина вс?х ситуац?й познача?ться як S; вважа?ться, що кожна ситуац?я склада?ться внасл?док вибору кожно? ?з коал?ц?й д?? деяко? сво?? стратег?? так, що $S\subset \prod _{K\in \Re }S_{K}$), зац?кавлен? сторони — коал?ц?ями ?нтерес?в (?хня множина — ?_I) ?, нарешт?, говорити про можлив? переваги для кожно? коал?ц?? ?нтерес?в K одн??? ситуац?? s′ перед ?ншою s″ (цей факт познача?ться як $s^{\prime }\mathop {\prec } _{K}s^{\prime \prime }$), то конфл?кт в ц?лому може бути описаний як система

$\Gamma =\langle \Re _{D},\,\{S_{K}\}_{K\in \Re _{D}},\,S,\,\Re _{I},\,\{\mathop {\prec } _{K}\}_{K\in \Re _{I}}\rangle$.

Така система, яка явля? собою конфл?кт, назива?ться грою. Конкретизац?? складових, як? задають гру, призводять до р?зноман?тних клас?в ?гор.

Класиф?кац?я ?гор

Кооперативн? або некооперативн?

Гра назива?ться кооперативною, якщо гравц? можуть об'?днуватися в групи, взявши на себе деяк? зобов'язання перед ?ншими гравцями ? координуючи сво? д??. Цим вона в?др?зня?ться в?д некооперативних ?гор, в яких кожен зобов'язаний грати за себе. Некооперативн? ?гри описують ситуац?? в найменших подробицях ? видають точн?ш? результати. Кооперативн? розглядають процес гри в ц?лому. Г?бридн? ?гри включають елементи кооперативних та некооперативних ?гор. Наприклад, гравц? можуть створювати групи, але гра буде проводитись в некооперативному стил?. Це означа?, що кожен гравець буде пересл?дувати ?нтереси сво?? групи, разом з тим досягти особисто? вигоди.

Симетрична та антисиметрична гра

Гра буде симетричною тод?, коли в?дпов?дн? стратег?? у гравц?в будуть р?вними, тобто вони матимуть однаков? платеж?. ?накше кажучи, якщо гравц? пом?няються м?сцями ? при цьому ?х виграш? за т? ж сам? ходи не зм?няться.

З нульовою ? ненульовою сумою

?гри з нульовою сумою — це особливий р?зновид ?гор з пост?йною сумою, тобто таких, де гравц? не можуть зб?льшити або зменшити ресурси або фонд гри, що в них ?. Прикладом ? гра покер, де один вигра? вс? ставки ?нших. В ?грах з ненульовою сумою виграш якогось гравця не обов'язково означа? програш ?ншого, ? навпаки. Результат тако? гри може бути як менше, так ? б?льше нуля.

Паралельн? та посл?довн?

В паралельних ?грах гравц? ходять одночасно, або вони не знають про ходи ?нших гравц?в, поки вс? не зроблять св?й х?д. В посл?довних ?грах гравц? можуть робити ходи в напередодн? визначеному порядку, але при цьому вони отримують деяку ?нформац?ю про ходи ?нших. Ця ?нформац?я може бути неповною, наприклад, гравець може д?знатися, що його опонент ?з десяти стратег?й точно не вибрав п'яту, н?чого не знаючи про ?нш?.

З повною або неповною ?нформац??ю

У гр? з повною ?нформац??ю (шахи, ?хрестики-нулики?) гравц? знають вс? ходи, зроблен? до поточного моменту, а також можлив? стратег?? противник?в, що дозволя? ?м деякою м?рою передбачити подальший плин гри. Б?льш?сть ?гор, як? вивча? математика, ? ?грами з неповною ?нформац??ю.

?гри з неск?нченним числом ход?в

?гри в реальному св?т? або т?, що вивчаються економ?кою, як правило, тривають в ск?нченну к?льк?сть ход?в. Математика не так обмежена, зокрема, в теор?? множин розглядаються ?гри, як? можуть продовжуватись неск?нченно довго. При чому переможець та його виграш не визначен? до завершення вс?х ход?в. Задача, яка зазвичай ставиться в цьому випадку, поляга? не в пошуц? оптимального р?шення, а в пошуц? хоча б виграшно? стратег??. Використовуючи акс?ому вибору, можна довести, що ?нколи нав?ть для ?гор з повною ?нформац??ю ? двома результатами — виграв або не виграв — жоден з гравц?в не ма? тако? стратег??. ?снування виграшних стратег?й для деяких особливо сконструйованих ?гор ма? важливу роль в дескриптивн?й теор?? множин.

Дискретн? ? неперервн? ?гри

Б?льш?сть ?гор — дискретн?: в них ск?нчена к?льк?сть гравц?в, ход?в, под?й, результат?в ? т. д. Проте ц? компоненти можуть бути розширеними на множину д?йсних чисел. Так? ?гри часто називаються диференц?альними. Вони пов'язан? з прямою д?йсних чисел, хоча под??, що в?дбуваються, можуть бути дискретними по сво?й природ?.

Диференц?альн? ?гри

Розв'язок диференц?альних р?внянь ?з частковими пох?дними щодо в'язкост? — це математична концепц?я, яка не ?снувала до 1980-х рок?в ? пропону? ун?кальну л?н?ю м?ркувань щодо розв'язку р?вняння Гам?льтона-Якоб?-Айзекса^{[уточнити терм?н]}. Зараз добре в?домо, що ця концепц?я актуальна для м?ркувань про оптимальне управл?ння та проблеми теор?? ?гор.

В кв?тн? 2023 року, в журнал? ?IEEE Transactions on Automatic Control?, було пов?домлено, що впродовж багатьох рок?в Деян М?лут?нович, професор електротехн?ки та комп'ютерно? ?нженер?? Кал?форн?йського ун?верситету в Санта-Круз? (UCSC, University of California Santa Cruz), сп?впрацював ?з колегами-досл?дниками у складн?й п?дгруп? теор?? ?гор, в?домо? як диференц?альн? ?гри. Це поле стосувалося гравц?в у рус?. Серед цих ?гор ? гра пересл?дування ст?ни, яка пропону? в?дносно нескладну структуру для сценар?ю, коли швидший пересл?дувач прагне захопити пов?льн?шого вт?кача, який обмежений рухом уздовж ст?ни. Оск?льки ця гра була вперше описана майже 60 рок?в тому^[коли?], у гр? виникла дилема — наб?р позиц?й, для яких вважалося, що оптимального р?шення гри не ?сну?. Але тепер М?лут?нович ? його колеги довели, що ц??? давньо? дилеми насправд? не ?сну?, ? запровадили новий метод анал?зу, який доводить, що завжди ?сну? детерм?новане р?шення ст?ни. Це в?дкриття дало можлив?сть вир?шувати ?нш? схож? проблеми, як? ?снують у сфер? диференц?альних ?гор, ? дозволя? краще м?ркувати про автономн? системи, так? як безп?лотн? транспортн? засоби. Вчен? зац?кавлен? в досл?дженн? ?нших проблем теор?? ?гор ?з сингулярними поверхнями.

Математичний апарат

Теор?я ?гор широко використову? р?зноман?тн? математичн? методи й результати теор?? ймов?рностей, класичного анал?зу, функц?онального анал?зу (особливо важливими ? теореми про нерухом? точки), комб?наторно? тополог??, теор?? диференц?альних та ?нтегральних р?внянь та ?нш?. Специф?ка теор?? ?гор сприя? розробц? р?зноман?тних математичних напрям?в (наприклад, теор?я опуклих множин, л?н?йне програмування ? так дал?).

Прийняттям р?шення в теор?? ?гор вважа?ться виб?р коал?ц??ю д??, або, зокрема, виб?р гравцем деяко? сво?? стратег??. Цей виб?р можна уявити соб? у вигляд? одноразово? д?? та зводити формально до вибору елемента ?з множини. ?гри з таким розум?нням вибору стратег?й називаються ?грами в нормальн?й форм?. ?м протиставляються динам?чн? ?гри, в яких виб?р стратег?? ? процесом, який в?дбува?ться протягом деякого часу, який супроводжу?ться розширенням ? звуженням можливостей, отриманням та втратою ?нформац?? про поточний стан справ ? тому под?бне. Формально, стратег??ю в так?й гр? ? функц?я, визначена на множин? вс?х ?нформац?йних стан?в суб'?кта, який прийма? р?шення. Некритичне використання ?свободи вибору? стратег?й може призводити до парадоксальних явищ.

Оптимальн?сть та розв'язки

Питання про формал?зац?ю поняття оптимальност? ? досить складним. ?дине уявлення про оптимальн?сть в теор?? ?гор в?дсутн?, тому доводиться розглядати дек?лька принцип?в оптимальност?. Область можливост? застосування кожного ?з принцип?в оптимальност?, як? використовуються в теор?? ?гор, обмежу?ться пор?вняно вузькими класами ?гор, або ж стосу?ться обмежених аспект?в ?хнього розгляду.

В основ? кожного ?з цих принцип?в лежать деяк? ?нту?тивн? уявлення про оптимум, як про щось ?ст?йке?, або ?справедливе?. Формал?зац?я цих уявлень да? вимоги, як? висуваються до оптимуму ? як? мають характер акс?ом.

Серед цих вимог можуть опинитись так?, як? суперечать одна одн?й (наприклад, можна показати конфл?кти, в яких сторони вимушен? задовольнитись малими виграшами, оск?льки великих виграш?в можна досягти лише в умовах невизначених ситуац?й); тому в теор?? ?гор не може бути сформульований ?диний принцип оптимальност?.

Ситуац?? (або множини ситуац?й), як? задовольняють в деяк?й гр? т? або ?нш? вимоги оптимальност?, називаються розв'язками ц??? гри. Так як уявлення про оптимальн?сть не ? однозначними, можна говорити про розв'язки ?гор в р?зних сенсах. Створення визначень розв'язк?в ?гор, доведення ?хнього ?снування ? розробка шлях?в ?хнього фактичного пошуку — три основн? питання сучасно? теор?? ?гор. Близькими до них ? питання про одиничн?сть розв'язк?в ?гор, про ?снування в тих чи ?нших класах ?гор розв'язк?в, як? мають деяк? наперед визначен? властивост?.

?стор?я

Як математична дисципл?на, теор?я ?гор зародилась одночасно з теор??ю ймов?рностей в 17 стол?тт?, але протягом майже 300 рок?в практично не розвивалась. Першою ?стотною роботою з теор?? ?гор сл?д вважати статтю Дж. фон Неймана ?До теор?? стратег?чних ?гор? (1928), а з виходом в св?т монограф?? американських математик?в Дж. фон Неймана та О. Моргенштерна ?Теор?я ?гор ? економ?чна повед?нка? (1944), теор?я ?гор сформувалась як самост?йна математична дисципл?на. На в?дм?ну в?д ?нших галузей математики, як? мають переважно ф?зичне, або ф?зико-технолог?чне походження, теор?я ?гор ?з самого початку свого розвитку була направлена на розв'язання задач, як? виникають в економ?ц? (а саме в конкурентн?й економ?ц?).

Надал?, ?де?, методи ? результати теор?? ?гор почали застосовувати в ?нших галузях знань, як? мають справу з конфл?ктами: в в?йськов?й справ?, в питаннях морал?, при вивченн? масово? повед?нки ?ндив?д?в, як? мають р?зн? ?нтереси (наприклад, в питаннях м?грац?? населення, або при розгляд? б?олог?чно? боротьби за ?снування). Теоретико-?гров? методи прийняття оптимальних р?шень в умовах невизначеност? можуть мати широке застосування в медицин?, в економ?чному ? соц?альному плануванн? ? прогнозуванн?, в ряд? питань науки та техн?ки. ?нод? теор?ю ?гор в?дносять до математичного апарату к?бернетики, або теор?? досл?дження операц?й.

Див. також

• Список ?гор теор?? ?гор
• Справедливий под?л
• ?гров? задач?
• ?грове моделювання
• Парт?йна коал?ц?я
• Виграшн? стратег??

Джерела

• Енциклопед?я к?бернетики, Воробйов Н. Н., т. 1, С.333—334.
• ТЕОР?Я ?ГОР: КУРС ЛЕКЦ?Й Навчальний пос?бник. Л. В. Барановська. Електронне мережне навчальне видання. Ки?в: КП? ?м. ?горя С?корського. 2022.

Л?тература

• А. Суббот?н. ?гор теор?я // Пол?тична енциклопед?я. Редкол.: Ю. Левенець (голова), Ю. Шаповал (заст. голови) та ?н. — К.: Парламентське видавництво, 2011. — с.273 ISBN 978-966-611-818-2
• Досл?дження операц?й. Ч. 3. Ухвалення р?шень ? теор?я ?гор / М. Я. Барт?ш, ?. М. Дудзяний. — Льв?в: Видавничий центр Льв?вського нац?онального ун?верситету ?м. ?.Франка, 2009 . — 277 с. : ?л. — Б?бл?огр.: с.271-272 (36 назв) . — ISBN 966-613-496-9
• Теор?я ?гор / Барт?ш М. Я., Роман Л. Л. — Льв?в: Видавничий центр ЛНУ, 2005. — 120 с.
• Мак-Кинси Дж. Введение в теорию игр. — М. : ГИФМЛ, 1960. — 420 с.
• Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. — М. : Мир, 1985. — 200 с.
• фон Нейман Дж., Моргенштерн Э. Теория игр и экономическое поведение. — М. : Наука, 1970. — 708 с.
• Оуэн Г. Теория игр. — М. : Мир, 1971. — 232 с.
• Baranovska L. V. Mixed strategy Nash equilibrium in one game and rationality [Арх?вовано 27 листопада 2020 у Wayback Machine.] / L.  V.  Baranovska, O.  M.  Bukovskiy // International Scientific and Practical Conference ?WORLD SCIENCE?. Proceedings of the III International Scientific and Practical Conference ?Scientific Issues of the Modernity? (April 27, 2017, Dubai, UAE). — 2017. — No 5(21), Vol. 1, May. — Pp. 4–8.
• В.О. Корн??нко, С.Г. Денисюк, А.А. Шиян (В?нницький нац?ональний техн?чний ун?верситет) ТЕОР?Я НЕКООПЕРАТИВНИХ ?ГОР
• С. Л. Печерський, А. А. Б?ля?ва. Теор?я ?гор для економ?ст?в, 2001

Посилання

• Теор?я ?гор // Л?тературознавча енциклопед?я : у 2 т. / авт.-уклад. Ю. ?. Ковал?в. — Ки?в : ВЦ ?Академ?я?, 2007. — Т. 2 : М — Я. — С. 476.
• Теор?я ?гор: основи та застосування